Il fascino dei numeri primi

Uno dei best seller degli ultimi tempi è proprio il libro: "La solitudine dei numeri primi" di Paolo Giordano, che ha appassionato una vasta schiera di lettori... non tutti necessariamente "addetti ai lavori", quindi è vero che un fascino questi numerelli ce l'hanno, eh!
E per usare le parole di un matematico (Mauro Palma), direi:

Il loro essere divisibili solo per se stessi e l'assoluta mancanza di regolarità determina un fascino senza tempo: un magnetismo spesso impiegato come chiave per interpretazioni antropologiche e comportamentali, o come efficace elemento di ispirazione per la produzione di opere letterarie di successo

Ed è proprio di questi numeri così particolari che voglio parlare, giusto per introdurvi a quanta "magia" c'è tra    le tante proprietà che li caratterizzano.
Cominciamo con una rapida definizione. Cos'è un numero primo?
Facile, è un numero intero che è divisibile solo per se stesso e per 1.
I numeri primi sono sparpagliati, non seguono uno schema fisso, non si riesce ad individuarli facilmente... e poi sono soli, proprio perchè lontani tra loro!

Questi sono i numeri su cui si costruisce tutto, come dei mattoncini, avete presente?

Tanto è stato detto circa questi numeri, ma ben poco si è riuscito a dimostrare in maniera esauriente, tanto che alcune delle supposizioni sono, ad oggi, rimaste tali.
Già dall'epoca dell'antica Grecia, questi numeri affascinavano tutti quanti, gli davano dei significati propiziatori o meno, credevano che si celasse dietro a questi numeri la vera sapienza e che si nascondessero le verità dell'universo... può essere, chi può dirlo?
Intanto, la dimostrazione dell'infinità dei numeri primi che venne data all'epoca da Euclide, è ancora valida, non è stata smentita da nessuno.
Euclide è partito dall'esempio di 3 numeri primi A, B e C qualunque.
Il loro prodotto (ovviamente non è un numero primo), ma se gli aggiungo 1, potrebbe esserlo. Bene, allora ho trovato un altro numero primo. Ma se non lo fosse, allora il prodotto ABC è divisibile per un altro numero primo D, quindi, comunque ne avrei trovato un altro... e così via...  sembrerebbe non esserci un limite.

Altra caratteristica: il numero 1 (come vedete anche dall'immagine) non è considerato un numero primo.
Perchè?
Semplice: per una questione di eleganza! E i matematici ci tengono tanto a questo, eh!
Se è vero che anche il numero 1 è divisibile soltanto per 1 e per se stesso (ovviamente sempre 1), è anche vero però che non risponde ad un altro teorema sui numeri primi: "ogni numero può esser scritto in un solo modo come prodotto dei suoi fattori primi". Se anche l'1 fosse un numero primo, questo teorema non varrebbe, perchè, ad esempio, se prendiamo il numero 14 e lo scomponiamo nei suoi fattori viene:
14 = 2 x 7
se anche il numero 1 fosse primo, si potrebbe scrivere 14 = 1 x 2 x 7, ma anche 14 = 1 x 1 x 2 x 7 e così via, sovvertendo quanto affermato dal teorema.
Quindi, per eleganza, è meglio non considerare il numero 1 come un numero primo.

Chiarito questo, passiamo al primo vero numero primo: il 2 .
E pure questo un po' strano lo è, eh... E' l'unico numero primo pari!
Nessun altro numero pari sarà mai un numero primo, proprio perchè divisibile per 2.

Sarebbe bello avere un metodo per riconoscere a colpo d'occhio se un numero è primo oppure no, ma non ci sono delle tecniche esaurienti per farlo... in tutti questi secoli non è stato trovato nulla che potesse soddisfare questa curiosità.
Così, c'è un metodo per scoprire se un numero è divisibile per 3.
Infatti basta sommare le cifre che lo compongono e vedere se il numero risultante è divisibile per 3.
Ad esempio, prendiamo il numero 27. La somma delle sue cifre è 2 + 7 = 9, che è divisibile per 3. Oppure prendiamo il numero 375. 3 + 7 + 5 = 15 che è divisibile per 3 (1 + 5 = 6).
E così via.
E c'è un metodo per scoprire se un numero è divisibile per 5: basta che termini con la cifra 0 o con il 5
Ce ne sta uno anche per stabilire se un numero è divisibile per 11, ma lasciamo perdere che mi impicco anche soltanto a ripeterlo...

E poi ci sono i numeri primi cosiddetti gemelli: sono quei numeri primi che differiscono tra loro solo di 2, ad esempio 3 e 5 sono gemelli, ma anche 5 e 7, o anche 11 e 13...
quante altre coppie di numeri gemelli esistono?
E chi lo sa?!
Si suppone che siano infiniti, ma nessuno l'ha dimostrato... quindi questa è rimasta una congettura.

Di teoremi ce ne sono un'infinità che riguardano questi numeri "speciali"... ma non mi va di tediarvi oltre... spero solo di avervi anche un po' incuriosito...